On pose \(u_0=0\), \(u_1=0\), \(u_2=1\), \(u_3=1\), \(u_4=0\), \(u_5=1\),... c’est-à-dire

\[\forall n\in\Nn,\;u_n=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;n\;\mbox{n'est pas premier}\\ 1\;\mbox{si}\;n\;\mbox{est premier} \end{array} \right..\]

Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour \(n\geq2\), l’entier \(kn\) est composé et donc, pour \(n\geq 2\), \(u_{kn}=0\). En particulier, la suite \((u_{kn})_{n\in\Nn}\) converge et a pour limite \(0\). Maintenant, l’ensemble des nombres premiers est infini et si \(p_n\) est le \(n\)-ième nombre premier, la suite \((p_n)_{n\in\Nn}\) est strictement croissante. La suite \((u_{p_n})_{n\in\Nn}\) est extraite de \((u_n)_{n\in\Nn}\) et est constante égale à \(1\). En particulier, la suite \((u_{p_n})_{n\in\Nn}\) tend vers \(1\). Ainsi la suite \((u_n)_{n\in\Nn}\) admet au moins deux suites extraites convergentes de limites distinctes et donc la suite \((u_n)_{n\in\Nn}\) diverge bien que toutes les suites \((u_{kn})_{n\in\Nn}\) convergent vers \(0\) pour \(k\geq2\).

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