Soit \((u_n)\) une suite d’entiers qui converge vers \(\ell \in \Rr\). Dans l’intervalle \(I = ] \ell - \frac12, \ell +\frac12[\) de longueur \(1\), il existe au plus un élément de \(\Nn\). Donc \(I \cap \Nn\) est soit vide soit un singleton \(\{a \}\).

La convergence de \((u_n)\) s’écrit : \[\forall \epsilon > 0 \ \ \exists N \in \Nn \text{\ \ tel que\ \ } (n \geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell| < \epsilon).\] Fixons \(\epsilon = \frac 12\), nous obtenons un \(N\) correspondant. Et pour \(n \geqslant N\), \(u_n \in I\). Mais de plus \(u_n\) est un entier, donc \[n \geqslant N \Rightarrow u_n \in I \cap \Nn.\] En conséquent, \(I\cap \Nn\) n’est pas vide (par exemple \(u_N\) en est un élément) donc \(I \cap \Nn = \{ a \}\). L’implication précédente s’écrit maintenant : \[n \geqslant N \Rightarrow u_n = a.\] Donc la suite \((u_n)\) est stationnaire (au moins) à partir de \(N\). En prime, elle est bien évidemment convergente vers \(\ell = a \in \Nn\).

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