1
Soit \(X\) un espace topologique, et \(D\) un sous-ensemble (partout) dense dans \(X\). Montrer qu’il est aussi équivalent de dire
(i) Le complémentaire de \(D\) est d’intérieur vide.
(ii) Si \(F\) est un fermé contenant \(D\), alors \(F=X\).
(iii) \(D\) rencontre tout ouvert non vide de \(X\).
Montrer qu’un ensemble \(A\subset X\) rencontre toute partie dense dans \(X\) si et seulement si il est d’intérieur non vide.
2
Soit \(E\) et \(G\) deux ouverts denses dans \(X\); montrer que \(E\cap G\) est encore dense dans \(X\). En déduire que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est une intersection décroissante d’ouverts denses.