Injectivité. Rappel de la méthode : pour montrer qu’une fonction est injective, on écrit \(f(x)=f(x')\) et on essaie de montrer que \(x=x'\). Pour montrer qu’elle n’est pas injective, on exhibe un contre-exemple.
\(f\) n’est pas injective sur \(\R\). En effet, \(-1\neq 1\) et pourtant \(f(-1)=f(1)=2\).
\(g\) est injective sur \(\R^*_+\). En effet, soient \(x\) et \(x'\) deux réels strictement positifs. Alors \[g(x)=g(x')\Leftrightarrow \eu{3+\ln(x)}=\eu{3+\ln(x')} \Leftrightarrow 3+\ln(x)=3+\ln(x') \text{ car $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.}\] Ainsi, \(\ln(x)=\ln(x')\) puis \(x=x'\) car la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\R^*_+\).
\(h\) est injective sur \(\R\). En effet, soient \(x\) et \(x'\) deux réels. Alors \[h(x)=h(x')\Leftrightarrow \frac{1}{x^3+1}=\frac{1}{x'^3+1} \Leftrightarrow x^3+1=x'^3+1 \text{ en appliquant la fonction inverse}\] donc \(x^3=x'^3\) puis \(x=x'\) car la fonction cube est strictement croissante sur \(\R\).
Surjectivité. Rappel de la méthode : pour montrer qu’une fonction est surjective sur un ensemble, on prend \(y\) un élément de cet ensemble, et on lui cherche au moins un antécédent. Pour montrer qu’elle n’est pas surjective, on exhibe un élément \(y\) de cet ensemble qui n’est pas atteint par la fonction.
\(f\) n’est pas surjective. En effet, pour tout réel \(x\), \(x^2+1\geq 1\), donc (par exemple) \(0\) n’est jamais atteint par la fonction \(f\). En revanche, elle est surjective sur \([1;+\infty[\).
\(g\) n’est pas surjective. En effet, pour tout réel \(x>0\), \(g(x)>0\) (car une exponentielle est toujours positive), donc (par exemple) \(-1\) n’est jamais atteint par la fonction \(g\). En revanche, elle est surjective sur \(]0;+\infty[\).
\(h\) est surjective. En effet, soit \(y\in \R^*\). Alors \(h(x)=y\) nous donne \(\frac{1}{x^3+1}=y\) puis \(x^3=\frac{1}{y}-1\) (\(y\neq 0\)) et enfin \(x=\sqrt[3]{\frac{1}{y}-1}\) (fonction qui est bien définie sur \(\R\)).
Bijectivité. \(f\) n’étant pas injective, elle n’est a fortiori par bijective. De même, \(g\) n’étant pas surjective, elle n’est pas bijective. Enfin, \(h\) étant à la fois injective et surjective, elle est bijective.

Injectivité, surjectivité, bijectivité