Tout polynôme à coefficients complexes non constant est surjectif sur \(\C\) donc \(P(\C)\subset\R \Leftrightarrow P = a\) (constante réelle).

On a par interpolation de Lagrange : \(P(\Q)\subset\Q \Leftrightarrow P\in\Q[X]\).

Montrons que \(P(\Q)=\Q \Leftrightarrow P=aX+b\) avec \(a\in\Q^*\), \(b\in\Q\) : la condition est clairement suffisante. Pour prouver qu’elle est nécessaire, considérons un polynôme éventuel \(P\) de degré \(n\ge 2\) tel que \(P(\Q)=\Q\). On sait déjà que \(P\) est à coefficients rationnels, donc on peut l’écrire sous la forme : \(P = \frac{a_0+a_1X+\dots+a_nX^n}d\) avec \(a_i\in\Z\), \(a_n\ne 0\) et \(d\in\N^*\). Soit \(\pi\) un nombre premier ne divisant ni \(a_n\) ni \(d\), et \(x=p/q\) (forme irréductible) un rationnel tel que \(P(x) = 1/\pi\). On a donc : \(\pi(a_0q^n+\dots+a_np^n) = dq^n\) ce qui implique que \(\pi\) divise \(q\). Il vient alors : \(a_np^n = dq^n/\pi - a_0q^n - \dots -a_{n-1}qp^{n-1}\) ce qui est impossible puisque \(\pi\) est facteur du second membre (\(n\ge 2\)) mais pas du premier (\(p\wedge q = 1\)).

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