Soit \(P\) un polynôme à coefficients complexes de degré \(4\). On suppose \(P\) unitaire sans perte de généralité. On note \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) et \(z_4\) les racines de \(P\) dans \(\Cc\).

Si \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) et \(z_4\) forment un parallélogramme, notons \(a\) le centre de ce parallélogramme. Les racines de \(P\) s’écrivent alors \(z_1\), \(z_2\), \(2_a-z_1\), \(2a-z_2\) et si \(Q=P(X+a)\) alors \(Q(-a+z_1)=Q(a-z_1)=Q(-a+z_2)=Q(a-z_2)=0\). Les racines du polynôme \(Q\) sont deux à deux opposées, ce qui équivaut à dire que le polynôme \(Q\) est bicarré ou encore de la forme \(X^4+\alpha X^2+\beta\) ou enfin que

\[P=(X-a)^4+\alpha(X-a)^2+\beta.\]

Mais alors \(a\) est racine de \(P'=4(X-a)^3+2\alpha(X-a)\) et de \(P^{(3)}=24(X-a)\).

Réciproquement, si \(P'\) et \(P^{(3)}\) ont une racine commune \(a\). \(P^{(3)}\) est de degré \(1\) et de coefficient dominant \(24\) et donc \(P^{(3)}=24(X-a)\) puis en intégrant \(P''=12(X-a)^2+\lambda\) puis \(P'=4(X-a)^3+\lambda(X-a)+\mu\). La condition \(a\) est racine de \(P'\) fournit \(\mu=0\) et donc \(P=(X-a)^4+\alpha(X-a)^2+\beta\). Donc, le polynôme \(Q=P(X+a)\) est bicarré et ses racines sont deux à deux opposées et donc de la forme \(Z_1=a-z_1\), \(Z_2=z1-a\), \(Z_3=a-z_2\), \(Z_4=z_2-a\) et on a bien \(Z_1-Z_3=Z_4-Z_2\).

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