On considère l’intégrale \[I = \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} dy\]
Démontrer qu’il existe une fonction \(\varphi \colon \R \to \R\) telle que \(I=\mathbb{E}(\varphi(Z_1))\) où \(Z_1\) est une variable aléatoire normale \(\mathcal{N}(0,1)\).
On définit une suite de variables \((Z_n)_{n \geq 1}\) indépendantes et identiquement distribuées selon une loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\).
Déterminer une fonction \(g \colon \R \to \R\) telle que la suite \(\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(Z_i) \right))_{n \geq 1}\) converge presque sûrement vers \(I\).
Construire un intervalle de confiance \(I_{conf}\) tel que \(\mathbb{P}(I \in I_{conf}) \approx 0{,}95\).
On définit une suite de variables \((U_n)\) indépendantes et identiquement distribuées selon une loi uniforme \(\mathcal{U}([0;4])\).
A l’aide de cette suite, définir une suite de variables aléatoires \((Y_n)\) qui converge presque sûrement vers \(I\).
En déduire une méthode de Monte Carlo permettant d’obtenir une valeur approchée de \(I\) en complétant l’algorithme suivant :
n = 1000
S = 0
for i in range(n):
u = ...
S = S + ...
print(...)Construire un intervalle de confiance \(I_{conf}\) tel que \(\mathbb{P}(I \in I_{conf}) \approx 0{,}95\).
Afin d’obtenir une approximation de \(I\), au vu des intervalles de confiance obtenus pour chaque méthode, mieux vaut-il utiliser une méthode de Monte Carlo basée sur la suite \((Z_n)\) ou la suite \((U_n)\) ?