Soit \(p\) un projecteur de \(E\). Si \(p=0\), \(\text{Tr}(p)=\text{rg}(p)=0\) et si \(p=Id_E\), \(\text{Tr}(p)=\text{rg}(p)=n\).

Dorénavant, \(p\) est un projecteur de rang \(r\in\llbracket1,n-1\rrbracket\). On choisit une base de \(E\) \(\mathcal{B}\) adaptée à la décomposition \(E=\text{Im}(p)\oplus\text{Ker}(p)\). Dans cette base, la matrice de \(p\) s’écrit \(\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&\ldots& &\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots& & &\vdots\\ \vdots&\ddots&1& & & \\ & & &0&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)\) où le nombre de \(1\) est \(\text{dim}(\text{Im}(p))=r\). Mais alors \(\text{Tr}(p)=r\).

En dimension finie, la trace d’un projecteur est son rang.

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