Puisque \(\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\right)^2+\left(\frac{\frac{a}{n}}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\right)^2=1\), il existe un unique réel \(\theta_n\in[-\pi,\pi[\) tel que

\(\cos\theta_n=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\) et \(\sin\theta_n=\frac{\frac{a}{n}}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\).

La matrice \(A_n\) s’écrit alors \(A_n=\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}\left( \begin{array}{cc} \cos\theta_n&-\sin\theta_n\\ \sin\theta_n&\cos\theta_n \end{array} \right)\) et donc

\((A_n)^n=\left(1+\frac{a^2}{n^2}\right)^{n/2}\left( \begin{array}{cc} \cos(n\theta_n)&-\sin(n\theta_n)\\ \sin(\theta_n)&\cos(n\theta_n) \end{array} \right)\).

Maintenant,

\(\left(1+\frac{a^2}{n^2}\right)^{n/2}=\text{exp}\left(\frac{n}{2}\ln\left(1+\frac{a^2}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}\left(\frac{n}{2}\times o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\text{exp}(o(1))\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}1\).

Ensuite, en notant \(\varepsilon\) le signe de \(a\), \(\theta_n=\varepsilon\Arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\) et on en déduit que

\(n\theta_n \underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\sin(\theta_n)=n\frac{\frac{a}{n}}{\sqrt{1+\frac{a^2}{n^2}}}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}a\).

Finalement

\(\lim_{n \rightarrow +\infty}(A_n)^n=\left( \begin{array}{cc} \cos(a)&-\sin(a)\\ \sin(a)&\cos(a) \end{array} \right)\).

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