Soit \(A=(a_{k,l})_{1\leq k,l\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Kk)\).

Si \(A\) commute avec toute matrice, en particulier : \(\forall(i,j)\in\{1,...,n\}^2,\;AE_{i,j}=E_{i,j}A\). Maintenant,

\[AE_{i,j}=\sum_{k,l}^{}a_{k,l}E_{k,l}E_{i,j}=\sum_{k=1}^{n}a_{k,i}E_{k,j}\;\mbox{et}\;E_{i,j}A=\sum_{k,l}^{}a_{k,l}E_{i,j}E_{k,l}=\sum_{l=1}^{n}a_{j,l}E_{i,l}.\]

On note que si \(k\neq i\) ou \(l\neq j\), \(E_{k,j}\neq E_{i,l}\). Puisque la famille \((E_{i,j})\) est libre, on peut identifier les coefficients et on obtient : si \(k\neq i\), \(a_{k,i}=0\). D’autre part, le coefficient de \(E_{i,j}\) est \(a_{i,i}\) dans la première somme et \(a_{j,j}\) dans la deuxième. Ces coefficients doivent être égaux.

Finalement, si \(A\) commute avec toute matrice, ses coefficients non diagonaux sont nuls et ses coefficients diagonaux sont égaux. Par suite, il existe un scalaire \(\lambda\in\Kk\) tel que \(A=\lambda I_n\). Réciproquement, si \(A\) est une matrice scalaire, \(A\) commute avec toute matrice.

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