\(\mathcal{C}\) est le support de l’arc paramétré \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} t\\ \ln t \end{array} \right)\), \(t>0\).

\(\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1/t \end{array} \right)=\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\left(\begin{array}{c} 1/\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\\ 1/\left(t\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}\right) \end{array} \right)=\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}\left( \begin{array}{c} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\\ \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \end{array} \right)\).

Donc, \(\frac{ds}{dt}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}\) et on peut prendre \(\alpha(t)=\Arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\) puis

\(\frac{d\alpha}{dt}=-\frac{t}{(t^2+1)^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+t^2}}}=-\frac{1}{t^2+1}\),

et finalement

\(R(t)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}=-\frac{1}{t}(t^2+1)^{3/2}\).

Pour \(t>0\), posons \(f(t)=|R(t)|=\frac{1}{t}(t^2+1)^{3/2}\). \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(t>0\),

\(f'(t)=-\frac{1}{t^2}(t^2+1)^{3/2}+3(t^2+1)^{1/2}=\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}(-(t^2+1)+3t^2)=\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}(2t^2-1)\).

\(f\) admet un minimum en \(t=\frac{1}{\sqrt{2}}\) égal à \(\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)^{3/2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\).

Le rayon de courbure minimum est \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) et est le rayon de courbure en \(M\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\), \(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\).

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