1
Soit \(f\) une application de \(E\) dans \(F\) espaces vectoriels normés et supposons \(f\) différentiable en \(a\); montrer que pour tout vecteur \(u\in E^*\), la dérivée de \(f\) en \(a\) dans la direction \(u\) existe , i.e. \(\lim_{h\to 0} {\frac 1 h}\big(f(a+hu)-f(a)\big)\) et l’exprimer à l’aide de \(f'(a)\).
2
On considère \(f:{\Rr^2}\to{\Rr}\) définie par \(f(0,0)=0\) et, si \((x,y)\neq(0,0)\), \(f(x,y)={\frac{x^3y}{x^4+y^2}}\). Montrer que \(f\) est dérivable en \((0,0)\) dans toutes les directions, mais que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).