On considère la fonction \[f: x \mapsto \begin{cases} k x^2 & \textrm{si } x \in [-1,1], \\ 0 & \textrm{sinon.} \end{cases}\]
1
Déterminer la valeur de \(k\) pour laquelle \(f\) est une fonction de densité de probabilité.
2
Soit \(X\) une variable aléatoire absolument continue admettant \(f\) pour densité. Donner la fonction de répartition \(F_X\) de la variable aléatoire \(X\).
3
Calculer l’espérance et la variance de \(X\).
4
Calculer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}(X \le 0.5 | X>0)\).
5
On considère la variable aléatoire \(Y = X^2\).
Montrer que \(F_Y(x) = 0\) si \(x < 0\) et \(F_Y(x) = 1\) si \(x > 1\).
Calculer \(F_Y(x)\) pour \(0 \le x \le 1\).
En déduire la densité de la loi de \(Y\).