Si \(\alpha<0\), \(u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^{-2\alpha}\) et si \(\alpha=0\), \(u_n=1+(-1)^n\). Donc si \(\alpha\leqslant0\), \(u_n\) ne tend pas vers \(0\). La série de terme général \(u_n\) diverge grossièrement dans ce cas.

On suppose dorénavant que \(\alpha> 0\). Pour tout entier naturel non nul \(n\), \(|u_n|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n^\alpha}\) et donc la série de terme général \(u_n\) converge absolument si et seulement si \(\alpha> 1\).

Il reste à étudier le cas où \(0 <\alpha\leqslant1\). On a \(u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}\). La suite \(\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)_{n\geqslant1}\) tend vers \(0\) en décroissant et donc la série de terme général \(\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\) converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. On en déduit que la série de terme général \(u_n\) converge si et seulement si la série de terme général \(\frac{1}{n^{2\alpha}}\) converge ou encore si et seulement si \(\alpha>\frac{1}{2}\).

En résumé

Si \(\alpha\leqslant0\), la série de terme général \(\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}\) diverge grossièrement,

si \(0 <\alpha\leqslant\frac{1}{2}\), la série de terme général \(\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}\) diverge,

si \(\frac{1}{2}<\alpha\leqslant1\), la série de terme général \(\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}\) est semi convergente,

si \(\alpha> 1\), la série de terme général \(\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}\) converge absolument.

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