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Sous les conditions du théorème de Stokes, montrer les identités suivantes, où \(\bf V\) est un champ de vecteur arbitraire, \(\Sigma\) une surface de bord \(\Gamma\), et \(\phi\) et \(\psi\) des fonctions \(C^1\) : \[\begin{aligned} \oint \phi \,d{\bf r} &=& \int_\Sigma d{{\bf\sigma }}\wedge\nabla \varphi, \\ \oint_{\Gamma } \,d{\bf r}\wedge{\bf U} &=& \int_\Sigma \left({\bf n}\wedge\nabla \right)\wedge {\bf U} \,d\sigma, \\ \oint_{\Gamma } \varphi \nabla \psi \cdot d{\bf r} &=& \int_\Sigma \nabla \phi \wedge\nabla \psi \cdot{\bf n} \,d\sigma. \end{aligned}\]