On se place dans \(\R^{\N}\) l’ensemble des suites réelles. On note :
\(I_0\) l’ensemble des suites réelles de terme initial nul.
\(M\) l’ensemble des suites réelles majorées.
\(B\) l’ensemble des suites réelles bornées.
\(L\) l’ensemble des suites réelles convergentes.
Pour tout \(k\in \Z\), \(L_k\) l’ensemble des suites réelles qui convergent vers un réel de \(\left[k,\,k+1\right[\).
\(C\) l’ensemble des suites réelles croissantes.
\(G\) l’ensemble des suites géométriques.
Écrire ces ensembles en compréhension, ainsi que l’ensemble \(\overline{L}\).
Montrer que \(B \subsetneq M\), \(L \subsetneq B\), \((C\cap M) \subsetneq L\).
Décrire \(L\cap G\).
Montrer que \((L_k)_{k\in \Z}\) est une famille de partie non vides de \(F\) qui sont deux à deux disjoints, et dont l’union est \(L\).