Soit \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)\). \(\chi_A=\left| \begin{array}{ccc} 1-X&0&-1\\ 1&2-X&1\\ 2&2&3-X \end{array} \right|=(1-X)(X^2-5X+4)-(-2+2X)=(1-X)(X^2-5X+4+2)=-(X-1)(X-2)(X-3)\).

\(A\) est à valeurs propres réelles et simples. \(A\) est diagonalisable dans \(\Rr\) et les sous-espaces propres sont des droites.

Si \(M\) est une matrice qui commute avec \(A\), \(M\) laisse stable ces droites et donc si \(P\) est une matrice inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit diagonale alors la matrice \(P^{-1}MP\) est diagonale. Réciproquement une telle matrice commute avec \(A\).

\(C(A)=\{P\text{diag}(a,b,c)P^{-1},\;(a,b,c)\in\Cc^3\}\).

On trouve \(C(A)=\left\{\left(\begin{array}{ccc} 2b-c&-a+2b-c&\frac{a-c}{2}\\ -b+c&a-b+c&(-a+c)/2\\ 2c-2b&-2b+c&c \end{array} \right),\;(a,b,c)\in\Cc^3\right\}\). On peut vérifier que \(C(A)=\text{Vect}(I,A,A^2)\).

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