Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\) une matrice triangulaire supérieure et \(f\) l’endomorphisme de \(\Kk^n\) de matrice \(A\) dans la base canonique \(\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)\) de \(\Kk^n\). Soit \(\mathcal{B'}=(e_n,...,e_1)\). \(\mathcal{B'}\) est encore une base de \(\Kk^n\). Soit alors \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}'\) puis \(A'\) la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}'\). Les formules de changement de bases permettent d’affirmer que \(A'=P^{-1}AP\) et donc que \(A\) et \(A'\) sont semblables.

Vérifions alors que \(A'\) est une matrice triangulaire inférieure. Pour \(i\in\{1,...,n\}\), posons \(e_i'=e_{n+1-i}\). \(A\) est triangulaire supérieure. Donc, pour tout \(i\), \(f(e_i)\in\mbox{Vect}(e_1,...,e_i)\). Mais alors, pour tout \(i\in\{1,...,n\}\), \(f(e_{n+1-i}')\in\mbox{Vect}(e_n',...,e_{n+1-i}')\) ou encore, pour tout \(i\in\{1,...,n\}\), \(f(e_{i}')\in\mbox{Vect}(e_n',...,e_{i}')\). Ceci montre que \(A'\) est une matrice triangulaire inférieure.

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