Soit \(f:\Rr^2 \to \Rr\) une fonction continue, posons \(M = \Rr^2 \setminus \{\, (x,y) \mid f(x,y) = 0 \,\}\) et \(V= \{\, g:M \to \Rr \mid g \text{ dérivable, } \forall x\in M\,:\, g'(x) = 0 \,\}\).
1
Montrer que \(M\) est un ouvert de \(\Rr^2\) et que \(V\) est un espace vectoriel.
2
Calculer la dimension de l’espace \(V\) dans les cas suivants :
3
\(f(x,y) = x^2 + y^2 - 1\),
4
\(f(x,y) = \sin(x)\),
5
\(f(x,y) = y^2 - x(x-1)(x-t)\).
6
Dans le dernier cas on vous demande de calculer la dimension de \(V\) en fonction de \(t\in [0,1]\) (indication : esquisser l’ensemble \(f(x,y)=0\) et distinguer les cas \(t=0\), \(t=1\), \(0<t<1\)).