On suppose que la droite est \(Ox\) et on paramètre la courbe cherchée, \(\mathcal{C}\), par une abscisse curviligne \(s\). Soient \(M=(x,y) \in \mathcal{C}\), \(I=(x-R\frac{dy}{ds}, y+R\frac{dx}{ds})\) le centre de courbure en \(M\) où \(R\) est le rayon de courbure. On veut \(|R| = \Bigl|y+R\frac{dx}{ds}\Bigr| = |y+R\cos\varphi|\) d’où : \[\pm \frac{d R }{ds} = \frac{dy}{ds} -R\sin\varphi \frac{d \varphi}{ds} + \frac{d R }{ds}\cos\varphi = \frac{d R }{ds}\cos\varphi.\] Ceci implique \(\frac{d R }{ds} = 0\) donc \(R\) est constant (cercle) ou \(\varphi\equiv 0 \bmod \pi\) (droite horizontale). Le deuxième cas est exclu (courbe birégulière) donc il reste le cas d’un cercle qui convient s’il est tangent à \(Ox\).

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