Soient \((R,\theta)\in\Rr^2\) puis \(M\) le point du plan dont un couple de coordonnées polaires est \([r,\theta]\).

\[\begin{align*}\ensuremath M\in\mathcal{C}&\Leftrightarrow x^2(x^2+y^2)-(y-x)^2=0 \Leftrightarrow r^2\cos^2\theta\times r^2-(r\sin\theta-r\cos\theta)^2=0\\ &\Leftrightarrow r^2[r^2\cos^2\theta-(\sin\theta-\cos\theta)^2]=0\Leftrightarrow r=0\;\text{ou}\;r^2=\left(\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\cos\theta}\right)^2\;(\cos\theta=0\;\text{ne fournit pas de solution})\\ &\Leftrightarrow r=0\;\text{ou}\;r=\tan\theta-1\;\text{ou}\;r=1-\tan\theta. \end{align*}\] \(\mathcal{C}\) est donc la réunion de la courbe \((\mathcal{C}_1)\) d’équation polaire \(r=\tan\theta-1\), \((\mathcal{C}_2)\) d’équation polaire \(r=1-\tan\theta\) et \(\{O\}\). On note que le point \(O\) appartient à \((\mathcal{C}_1)\) car \(\theta=\frac{\pi}{4}\) fournit \(r=0\). Donc \(\mathcal{C}=\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2\cup\{O\}=\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2\). Ensuite, on notant \(r_1\) et \(r_2\) respectivement la fonction \(\theta\mapsto\tan\theta-1\) et \(r_2=-r_1\),

\(M[\theta+\pi,r_2(\theta+\pi)]=M[\theta+\pi,r_2(\theta)]=M[\theta+\pi,-r_1(\theta)]=M[\theta,r_1(\theta)]\),

et comme \(\theta+\pi\) décrit \(\Rr\) si et seulement si \(\theta\) décrit \(\Rr\), les courbes \(\mathcal{C}_1\) et \(\mathcal{C}_2\) sont une seule et même courbe.

\(\mathcal{C}\) est la courbe d’équation polaire \(r=\tan\theta-1\).

Construction de \(\mathcal{C}\).

\[\]

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