Soit \(c~:I\to \Rr^2\) une courbe plane paramétrée par la longueur d’arc. On suppose que \(c\) reste dans le disque de rayon \(r\) et qu’au point de paramètre \(\tau\), \(\| c(\tau)\|=r\).
1
Montrer en dérivant une fois la fonction \(t\mapsto \| c(t)\|^2\) que \(\ddot{c}(\tau)\) est colinéaire à \(c(\tau)\) ?
2
Montrer en dérivant à nouveau la fonction \(t\mapsto \| c(t)\|^2\) que la courbure en \(\tau\) vérifie \(|\kappa(\tau)|\geq 1/r\).