Tentative à l’ordre 3.

\(\tan(\sin x)\underset{x\rightarrow0}{=}\tan\left(x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\frac{1}{3}(x)^3+o(x^3)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\), et,

\(\sin(\tan x)\underset{x\rightarrow0}{=}\sin\left(x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=\left(x+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{1}{6}(x)^3+o(x^3)=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\). Donc, \(\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\underset{x\rightarrow0}{=}o(x^3)\). L’ordre \(3\) est insuffisant pour obtenir un équivalent. Tentative à l’ordre 5.

\[\begin{align*}\ensuremath \tan(\sin x)&\underset{x\rightarrow0}{=}\tan\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\right) =\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)+\frac{1}{3}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3+\frac{2}{15}(x)^5+o(x^5)\\ &=x+\frac{x^3}{6}+x^5\left(\frac{1}{120}-\frac{1}{6}+\frac{2}{15}\right)+o(x^5)=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+o(x^5), \end{align*}\] et,

\[\begin{align*}\ensuremath \sin(\tan x)&\underset{x\rightarrow0}{=}\sin\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)\right) =\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}\right)-\frac{1}{6}\left(x+\frac{x^3}{3}\right)^3+\frac{1}{120}(x)^5+o(x^5)\\ &=x+\frac{x^3}{6}+\left(\frac{2}{15}-\frac{1}{6}+\frac{1}{120}\right)x^5+o(x^5)=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+o(x^5). \end{align*}\] Donc, \(\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\underset{x\rightarrow0}{=}o(x^5)\). L’ordre \(5\) est insuffisant pour obtenir un équivalent. Le contact entre les courbes représentatives des fonctions \(x\mapsto\sin(\tan x)\) et \(x\mapsto\tan(\sin x)\) est très fort. Tentative à l’ordre 7.

\[\begin{align*}\ensuremath \tan(\sin x)&\underset{x\rightarrow0}{=}\tan\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+o(x^7)\right)\\ &=\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}\right)+\frac{1}{3}\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)^3+\frac{2}{15}\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^5+\frac{17}{315}x^7+o(x^7)\\ &=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+\left(-\frac{1}{5040}+\frac{1}{3}\left(3\times\frac{1}{120}+3\times\frac{1}{36}\right)+\frac{2}{15}\left(-\frac{5}{6}\right)+\frac{17}{315}\right)x^7+o(x^7)\\ &=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+\left(-\frac{1}{5040}+\frac{1}{120}+\frac{1}{36}-\frac{1}{9}+\frac{17}{315}\right)x^7+o(x^7), \end{align*}\] et,

\[\begin{align*}\ensuremath \sin(\tan x)&\underset{x\rightarrow0}{=}\sin\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17}{x^7}{315}+o(x^7)\right)\\ &=\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}\right)-\frac{1}{6}\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}\right)^3+\frac{1}{120}\left(x+\frac{x^3}{3}\right)^5-\frac{1}{5040}(x)^7+o(x^7)\\ &= x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+\left(\frac{17}{315} -\frac{1}{6}\left(3\times\frac{2}{15}+3\times\frac{1}{9}\right)+\frac{1}{120}\times\frac{5}{3}-\frac{1}{5040}\right)x^7+o(x^7)\\ &=x+\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}+\left(\frac{17}{315}-\frac{1}{15}-\frac{1}{18}+\frac{1}{72}-\frac{1}{5040}\right)x^7+o(x^7). \end{align*}\] Finalement,

\[\begin{align*}\ensuremath \tan(\sin x)-\sin(\tan x)&\underset{x\rightarrow0}{=}\left(\frac{1}{120}+\frac{1}{36} -\frac{1}{9}+\frac{1}{15}+\frac{1}{18}-\frac{1}{72}\right)x^7+o(x^7) =\frac{x^7}{30}+o(x^7), \end{align*}\] et donc

\(\tan(\sin x)-\sin(\tan x)\underset{x\rightarrow0}{\sim}\frac{x^7}{30}\).

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