Pour \(\alpha\in]0,\pi[\), posons \(f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\). \(\{(\sin(n\alpha),\;n\in\Nn\}\) est une partie non vide et majorée (par \(1\)) de \(\Rr\). Donc, pour tout réel \(\alpha\) de \(]0,\pi[\), \(f(\alpha)\) existe dans \(\Rr\).

Si \(\alpha\) est dans \([\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\),

\[f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq\sin\alpha\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).\]

Si \(\alpha\) est dans \(]0,\frac{\pi}{3}]\). Soit \(n_0\) l’entier naturel tel que \((n_0-1)\alpha<\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha\) (\(n_0\) existe car la suite \((n\alpha)_{n\in\Nn}\) est strictement croissante). Alors,

\[\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha=(n_0-1)\alpha+\alpha<\frac{\pi}{3}+\alpha\leq\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.\]

Mais alors,

\[f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq|\sin(n_0\alpha)|\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).\]

Si \(\alpha\) est dans \([\frac{2\pi}{3},\pi[\), on note que \[f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n(\pi-\alpha)|)=f(\pi-\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3}),\]

car \(\pi-\alpha\) est dans \(]0,\frac{\pi}{3}]\).

On a montré que \(\forall\alpha\in]0,\pi[,\;f(\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Donc, \(\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))\) existe dans \(\Rr\) et

\[\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))= \mbox{Min}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))=f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

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