Déterminons le centre de gravité \(G\).

\(G=\frac{1}{3}A+\frac{1}{3}B+\frac{1}{3}C=\frac{1}{3}(2,-2,0)+\frac{1}{3}(4,2,6)+\frac{1}{3}(-1,-3,0)=\left(\frac{5}{3},-1,2\right)\).

Déterminons le centre du cercle circonscrit \(O\). Une équation du plan \((ABC)\) est \(\left| \begin{array}{ccc} x-2&2&-3\\ y+2&4&-1\\ z&6&0 \end{array} \right|=0\) ou encore \(6(x-2)-18(y+2)+10z=0\) ou enfin \(3x-9y+5z=24\). Posons alors \(O(a,b,c)\). Ensuite, \(OA=OB\Leftrightarrow(a-2)^2+(b+2)^2+c^2=(a-4)^2+(b-2)^2+(c-6)^2\Leftrightarrow4a+8b+12c=48\Leftrightarrow a+2b+3c=16\) et \(OA=OC\Leftrightarrow(a-2)^2+(b+2)^2+c^2=(a+1)^2+(b+3)^2+c^2\Leftrightarrow-6a-2b=2\Leftrightarrow3a+b=-1\). D’où le système

\[\begin{align*}\ensuremath \left\{ \begin{array}{l} 3a-9b+5c=24\\ a+2b+3c=16\\ 3a+b=-1 \end{array} \right.&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} b=-3a-1\\ 3a-9(-3a-1)+5c=24\\ a+2(-3a-1)+3c=16 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} b=-3a-1\\ 6a+c=3\\ -5a+3c=18 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} b=-3a-1\\ c=3-6a\\ -5a+3(3-6a)=18 \end{array} \right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} a=-\frac{9}{23}\\ b=\frac{4}{23}\rule{0mm}{7mm}\\ c=\frac{123}{23}\rule{0mm}{7mm} \end{array} \right. \end{align*}\] Donc \(O\left(-\frac{9}{23},\frac{4}{23},\frac{123}{23}\right)\). Déterminons l’orthocentre \(H\). D’après la relation d’Euler,

\(H=O+3\overrightarrow{OG}=\left(-\frac{9}{23},\frac{4}{23},\frac{123}{23}\right)+3\left(-\frac{9}{23}-\frac{5}{3},\frac{4}{23}+1,\frac{123}{23}-2\right)=\left(\frac{-151}{23},\frac{85}{23},\frac{354}{23}\right)\).

Déterminons le centre du cercle inscrit \(I\). On sait que \(I=\text{bar}\left\{A(a),B(b),C(c)\right\}\) où \(a=BC=\sqrt{5^2+5^2+6^2}=\sqrt{86}\), \(b=AC=\sqrt{3^2+1^2+0^2}=\sqrt{10}\) et \(c=AB=\sqrt{2^2+4^2+6^2}=\sqrt{54}\). Donc

\[\begin{align*}\ensuremath I&=\frac{\sqrt{86}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}A +\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}B+\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}C\\ &=\left( \frac{2\sqrt{86}+4\sqrt{10}-\sqrt{54}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}, \frac{-2\sqrt{86}+2\sqrt{10}-3\sqrt{54}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}, \frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}} \right). \end{align*}\]

Dans \(\Rr^3\) euclidien rapporté à un repère orthonormé, on donne \(A(2,-2,0)\), \(B(4,2,6)\) et \(C(-1,-3,0)\). Déterminer l’orthocentre, le centre de gravité, les centres des cercles circonscrits et inscrits au triangle \((A,B,C)\).

\(G\left(\frac{5}{3},-1,2\right)\), \(O\left(-\frac{9}{23},\frac{4}{23},\frac{123}{23}\right)\) et \(H\left(\frac{-151}{23},\frac{85}{23},\frac{354}{23}\right)\) puis

\(I\left(\frac{2\sqrt{86}+4\sqrt{10}-\sqrt{54}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}},\frac{-2\sqrt{86}+2\sqrt{10}-3\sqrt{54}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}},\frac{6\sqrt{10}}{\sqrt{86}+\sqrt{10}+\sqrt{54}}\right)\).

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