On cherche une équation sous la forme \((ax+by)^2 + 2cx + 2dy + e = 0\) avec \(a^2+b^2 = 1\) et \(a > 0\).

\((1,0)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow a^2+2c+e = 0\) et \((0,2)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow4b^2+4d+e=0\).

D’après la règle de dédoublement des termes, la tangente en \((1,0)\) à \((\mathcal{P})\) admet pour équation cartésienne \(a^2x +aby+ c(x+1) +dy + e = 0\) ou encore \((a^2+c)x + (ab+d)y + c+e = 0\). Cette tangente est l’axe \((Ox)\) si et seulement si \(a^2+c = 0\) et \(c+e = 0\) et \(ab+d\neq 0\).

La tangente en \((0,2)\) à \((\mathcal{P})\) admet pour équation cartésienne \(2abx + 2b^2y + cx + d(y+2) + e = 0\) ou encore \((2ab+c)x + (2b^2+d)y +2d+e = 0\). Cette tangente est l’axe \((Oy)\) si et seulement si \(2b^2+d = 0\) et \(2d+e = 0\) et \(2ab+c\neq 0\).

En résumé, \((\mathcal{P})\) est solution si et seulement si \(c=-a^2\), \(d = -2b^2\), \(e = a^2 = 4b^2\), \(a^2+b^2 =1\), \(ab+d\neq0\), \(2ab+c\neq 0\) et \(a > 0\).

\(a > 0\), \(a^2 = 4b^2\) et \(a^2+b^2 =1\Leftrightarrow a =\frac{2}{\sqrt{5}}\) et \(b =\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\).

Les égalités \(a=\frac{2}{\sqrt{5}}\) et \(b =\frac{1}{\sqrt{5}}\) fournissent \(ab+d =\frac{2}{5}-\frac{2}{5}= 0\) ce qui ne convient pas.

Il reste \(a =\frac{2}{\sqrt{5}}\), \(b = -\frac{2}{\sqrt{5}}\), \(c = -\frac{4}{5}\) , \(d= -\frac{2}{5}\) et \(e =\frac{4}{5}\) qui fournit bien une solution. On trouve une et une seule parabole.

La parabole \((\mathcal{P})\) admet pour équation cartésienne \((2x-y)^2 -8x - 4y + 4 = 0\).

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exo7 5824