Soit \(f\) une éventuelle solution. \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)=f\left( \frac{3}{16x}\right)\). On en déduit que \(f'\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) ou encore que \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\). En dérivant l’égalité initiale, on obtient pour tout réel \(x\)

\(f''(x)=- \frac{3}{16x^2}f'\left( \frac{3}{16x}\right)=- \frac{3}{16x^2}f\left( \frac{3/16}{(3/16)/x}\right)=- \frac{3}{16x^2}f(x)\),

et donc \(f\) est solution sur \(\Rr\) de l’équation différentielle \(x^2y''+ \frac{3}{16}y=0\) \((E)\). Les solutions de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\) constituent un \(\Rr\)-espace vectoriel de dimension \(2\). Cherchons une solution particulière de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\) de la forme \(g_\alpha~:~x\mapsto x^\alpha\), \(\alpha\in\Rr\).

\[\begin{align*}\ensuremath f_\alpha\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;]0,+\infty[&\Leftrightarrow\forall x>0,\;x^2\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}+ \frac{3}{16}x^\alpha=0\Leftrightarrow\alpha^2-\alpha+ \frac{3}{16}=0\\ &\Leftrightarrow\alpha= \frac{1}{4}\;\text{ou}\;\alpha= \frac{3}{4}. \end{align*}\]

Les deux fonctions \(f_1~:~x\mapsto x^{1/4}\) et \(f_2~:~x\mapsto x^{3/4}\) sont solutions de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\). Le wronskien de ces solutions est \(w(x)=\left| \begin{array}{cc} x^{1/4}&x^{3/4}\\ \frac{1}{4}x^{-3/4}& \frac{3}{4}x^{-1/4} \end{array} \right|= \frac{1}{2}\neq0\) et donc \((f_1,f_2)\) est un système fondamental de solutions de \((E)\) sur \(]0,+\infty[\). Ainsi, si \(f\) est solution du problème, nécessairement \(\exists(\lambda_1,\lambda_2)\in\Rr^2\) tel que \(\forall x>0\), \(f(x)=\lambda_1x^{1/4}+\lambda_2x^{3/4}\).

Réciproquement, soit \(f\) une telle fonction.

Pour tout réel \(x>0\), \(f'(x)= \frac{\lambda_1}{4}x^{-3/4}+ \frac{3\lambda_2}{4}x^{-1/4}\) et \(f\left( \frac{3}{16x}\right)= \frac{3^{1/4}\lambda_1}{2}x^{-1/4}+ \frac{3^{3/4}\lambda_2}{8}x^{-3/4}\). Donc

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution}&\Leftrightarrow\forall x>0,\; \frac{\lambda_1}{4}x^{-3/4}+ \frac{3\lambda_2}{4}x^{-1/4}= \frac{3^{1/4}\lambda_1}{2}x^{-1/4}+ \frac{3^{3/4}\lambda_2}{8}x^{-3/4}\\ &\Leftrightarrow\forall x>0,\; \frac{\lambda_1}{4}x^{-3/4}+ \frac{3\lambda_2}{4}x^{-1/4}= \frac{3^{1/4}\lambda_1}{2}x^{-1/4}+ \frac{3^{3/4}\lambda_2}{8}x^{-3/4}\\ &\Leftrightarrow\forall x>0,\; \frac{\lambda_1}{4}x^{1/4}+ \frac{3\lambda_2}{4}x^{3/4}= \frac{3^{1/4}\lambda_1}{2}x^{3/4}+ \frac{3^{3/4}\lambda_2}{8}x^{1/4}\;(\text{après multiplication par}\;x)\\ &\Leftrightarrow \frac{\lambda_1}{4}= \frac{3^{3/4}\lambda_2}{8}\;\text{et}\; \frac{3\lambda_2}{4}= \frac{3^{1/4}\lambda_1}{2}\Leftrightarrow\lambda_2= \frac{2}{3^{3/4}}\lambda_1. \end{align*}\]

Les fonctions solutions sont les fonctions de la forme \(x\mapsto\lambda\left(x^{1/4}+2\left( \frac{x}{3}\right)^{3/4}\right)\).

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