Raisonnons par analyse et synthèse.

Analyse

Soit \(f:\R \to \R\) vérifiant, pour tous \(x\) et \(y\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\). Pour \(x=y=0\), on obtient \(f(0)=f(0)+f(0)\),donc \(f(0)=0\).

Fixons \(y\in \R\), et dérivons par rapport à \(x\) (\(f\) est dérivable). On obtient alors, pour tout \(x\in \R\) \[f'(x+y)=f'(x)\] En prenant \(x=0\), cela donne \(f'(y)=f'(0)\). Ceci étant valable pour tout \(y\in \R\), on en déduit que \(f'\) est une fonction constante. On écrit alors \(f':x\mapsto a\), avec \(a\in \R\), ce qui donne, en prenant une primitive : \[f:x\mapsto ax+b\] avec \(a\) et \(b\) deux réels. Mais puisque \(f(0)=0\), on en déduit que \(b=0\).

On a bien réduit l’étendue des possibilités; on passe à la synthèse.

Synthèse

Soient \(a\in \R\), et \(f:x\mapsto ax\). On remarque alors : \[\begin{align*} \forall(x,y)\in \R^2,\,f(x+y) &= a(x+y) \\ &= ax+ay = f(x)+f(y) \end{align*}\] Ainsi, la \(f\) vérifie bien l’équation fonctionnelle.

Bilan : l’ensemble des fonctions de \(\R\) dans \(\R\), vérifiant pour tous réels \(x\) et \(y\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) est \[\left \{ x\mapsto ax,\, a \in \R \right \}\]

Analyse et synthèse