On considère l’équation différentielle linéaire sur \(\Rr^n\) \[(1)\quad y'=A(x).y\] où \(A(x)\) est continue sur un intervalle \(I\).
Montrer que si l’on suppose \(A(x)A(x')=A(x')A(x)\) pour tous \(x,x'\in I\), la résolvante de \((1)\) est \[R(x,x_0)=\exp\Big(\int_{x_0}^x A(s)\ ds\Big)=:\exp B(x).\]
(Indic. : remarquer que \(B(x)B(x')=B(x')B(x)\).)
Montrer que si \(A(x)=\begin{pmatrix}a(x) & b(x)\cr -b(x) & a(x)\cr\end{pmatrix}\), \(A\) vérifie l’hypothèse de a) et \(B(x)\) est de la forme \(\begin{pmatrix}\alpha(x) & \beta(x)\cr -\beta(x) & \alpha(x)\cr\end{pmatrix}\).
Résoudre l’équation \(y'=A(x).y\) lorsque \(a(x)=-{x\over2(1+x^2)}\) et \(b(x)= {1\over2(1+x^2)}\).
Résoudre l’équation \(y'=A(x).y + C(x)\) lorsque \(A(x)=\begin{pmatrix}\sh(x) & 1\cr -1 & \sh(x)\cr\end{pmatrix}\) et \(C(x)=\begin{pmatrix}\sin x\ \sh(x) \cr \cos x\ \sh(x) \cr\end{pmatrix}\).