Soit \(a>0\) et soit \(f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n\) une application de classe \(C^1\) vérifiant \[|\langle x , f(t,x)\rangle| \leq a \langle x , x \rangle \quad \text{pour tout} \;\; (t,x)\in \Rr\times \Rr^n \; .\] Soit \(\varphi\) une solution de l’équation différentielle \(x'=f(t,x)\) que l’on suppose définie sur l’intervalle \(I\).
On pose \(N(t) = \langle \varphi (t) , \varphi (t) \rangle\). Montrer que l’application \(N\) est dérivable sur \(I\), calculer sa dérivée et montrer qu’elle vérifie \(|N'(t)|\leq 2 a N(t)\).
Soient \(t\) et \(t_0\) deux points de \(I\). Comparer \(N(t)\) et \(N(t_0)\).
Montrer que les solutions maximales de l’équation différentielle en considération sont définies sur \(\Rr\).
Montrer que les solutions maximales du système \[\begin{equation} (S) \quad \left\{ \begin{array}{ccc} x_1'(t) & = & 2x_1(t) +t x_2(t) +x_2^2(t) \\ x'_2(t) & = & -tx_1(t) +x_2(t) -x_1(t) x_2(t) \end{array}\right. \end{equation}\] sont définies sur \(\Rr\).