On considère \(A\) la matrice \(\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 1 & 0 &0 \cr\end{pmatrix}\).
Calculer \(A^3\) et montrer que \(e^{tA}=\begin{pmatrix}f & g & h \cr h & f & g \cr g & h &f \cr\end{pmatrix}\), où \(f(t)=\sum_0^\infty{t^{3n}\over 3n!},\ g(t)=\sum_0^\infty{t^{3n+1}\over 3n+1!},\ h(t)=\sum_0^\infty{t^{3n+2}\over 3n+2!}\). Montrer que \(f(t)={1\over3}(e^t+e^{jt}+e^{j^2t})\) et donner l’expression de \(h\).
On considère \(\varphi:{\Rr}\to {\Rr}\) une application de classe \(C^\infty\). Montrer qu’une solution particulière de l’équation\(({\cal E})\quad y'''-y=\varphi(t)\)est \[y(t)=\int_0^th(t-s)\varphi(s)\ ds.\]
On suppose \(\varphi\) \(1\)-périodique (ie \(\varphi(t+1)=\varphi(t)\ \forall t\in\Rr\)). Soit \(y\) une solution de \(({\cal E})\) telle que \(y(0)=y(1),\ y'(0)=y'(1),\ y''(0)=y''(1)\). Montrer que \(y\) est \(1\)-périodique.
Montrer que \(({\cal E})\) possède une et une seule solution \(1\)-périodique.