Soit \(W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}\) et \(\Omega = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x\ne 0 \,\}\). On veut étudier le système d’équations différentielles \[\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x' &= 1 \\ y' &= \frac{2y}{x} \end{aligned} \right. \tag{*} \end{equation}\]
Pour chaque condition initiale \((x_0,y_0) \in W\), trouver la solution \((x(t),y(t))\) sur un intervalle maximal \(I\) du système \((*)\) (préciser \(I\)). Tracer quelques courbes intégrales dans \(W\) pour des conditions initiales variées dans \(W\).
Pour chaque condition initiale \((x_0,y_0) \in \Omega\), trouver la solution \((x(t),y(t))\) sur un intervalle maximal \(I\) du système \((*)\) (préciser \(I\)). Tracer quelques courbes intégrales dans \(\Omega\) pour des conditions initiales variées dans \(\Omega\).
Trouver toutes les courbes \(\gamma: \Rr \to \Rr^2\) de classe \(C^1\) vérifiant \(\gamma(0) = (-1,1)\) et telles que \(\gamma\) est solution de \((*)\) partout où \(\gamma(t)\) appartient à \(\Omega\).
Même question pour des courbes \(\gamma\) de classe \(C^2\).
Même question pour des courbes \(\gamma\) de classe \(C^3\).