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Soit \(f\in C^1 (\Rr \times \Rr^n , \Rr^n )\) une application bornée et soit \(\varphi\) la solution maximale du problème \[x'(t) = f(t,x(t)) \;\; , \;\; x(t_0) =x_0 \;\; ,\] que l’on suppose définie sur l’intervalle \(I\subset \Rr\). (Rappeler pourquoi une telle solution existe). Montrer que \(\varphi\) est définie sur \(I=\Rr\) tout entier. (Indication: supposer \(\beta = \sup \{t\; ; \; t\in I\} <\infty\). Établir que \(\varphi\) est bornée sur \([t_0, \beta[\) et que \(\lim_{t\to \beta} \varphi (t)\) existe. Conclure).