Soit \(E=\Rr^n\) et \(t\to A(t)\), \(t\to B(t)\) deux applications de \(J\) dans \({\cal L}(E)\) où \(J=]\alpha,+\infty[\).
On considère les deux équations \[(1)\ x'=A(t).x\qquad (2)\ x'=\big(A(t)+B(t)\big).x,\] et \(a\in J\). On note \(R(t,a)\) la résolvante de \((1)\) telle que \(R(a,a)=I_E\).
Si \(y\) est une solution de \((2)\), montrer que la fonction \(z\) définie par \(y(t)=R(t,a).z(t)\) est solution d’une équation de la forme \((3)\ z'=C(t).z\), où \(C(t)=R(a,t)B(t)R(t,a)\).
On suppose que \(||R(t,s)||\leq k\) pour tous \(t,s\in J\) où \(k\) est une constante et que \(||B(t)||\leq \epsilon(t)\) où \(\epsilon\) est continue sur \(J\).
Montrer que \(||C(t)||\leq k^2\epsilon(t)\).
On suppose de plus que \(\int_a^\infty \epsilon(t)\ dt\) converge. Montrer (à l’aide de Gronwall) que si \(z\) est telle que \(z(a)\neq0\), \(||z(t)||\) est uniformément bornée sur \([a,+\infty[\), puis que \(z\) a une limite lorsque \(t\to+\infty\).