On considère les équations \[\quad (1)\quad y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad (2)\quad y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)\] où \(p\), \(q\) et \(r\) sont des fonctions continues d’un intervalle \(I\subset\Rr\) dans \(\Rr\). Etablir ce qui suit :
Pour tout \(x_0\in I\), et tout \((a,b)\in \Rr^2\), \((1)\) admet une solution maximale définie sur \(I\) tout entier, telle que \(y(x_0)=a, y'(x_0)=b\).
Soit \(x_0\in I\); les solutions de \((1)\) forment un espace vectoriel \(V\) de dimension 2 dont une base est \((y_1,y_2)\) avec \(y_1(x_0)=1, y_1'(x_0)=0\), \(y_2(x_0)=0, y_2'(x_0)=1\).
Soit \(u\) et \(v\) deux solutions de \((1)\) et \(W=u'v-uv'\) leur wronskien; trouver une équation différentielle satisfaite par \(W\); en déduire que \(W\) est soit identiquement nul, soit jamais nul, et que \(W\not=0\Longleftrightarrow (u,v)\) est une base de \(V\). Quel est le rapport entre \(W\) et la résolvante du système associé ?
La solution \(y\) de \((2)\) vérifiant \(y(x_0)=0,y'(x_0)=1\), où \(x_0\) fixé dans \(I\), est \[y(x)=y(x_0)y_1(x)+y'(x_0)y_2(x)+\int_{x_0}^x {r(t)\Big(y_1(t)y_2(x)-y_1(x)y_2(t)\Big)\over W(t)}\ dt.\]
Exemple : Résoudre \(y''+4y=\tan x\).