Partir du membre de gauche et appliquer l’inégalité arithmético-géométrique à trois variables ne donne pas immédiatement le résultat. Si on développe le membre de droite, on obtient \[a^2bc+b^2ca+c^2ab,\] que l’on peut essayer de minorer par trois utilisations indépendantes de l’inégalité arithmético-géométrique à quatre variables: \[a^2bc = \sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4} \leq \frac14\left(a^4+a^4+b^4+c^4\right) = \frac14\left(2a^4+b^4+c^4\right).\] De même, \[b^2ac\leq \frac14\left(a^4+2b^4+c^4\right) \text{ et } c^2ab \leq \frac14\left(a^4+b^4+2c^4\right).\] En sommant ces trois inégalités, on obtient le résultat.

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