Une application du type \(G(l,a)= \tau _l. t_a\) s’appelle réflexion glissée si le vecteur \(a\) est parallèle à la droite \(l\) \(\subset \Rr^2\).
Si \(G = \tau _l. t_a\) est une réflexion glissée alors montrer que \(\tau_l . t_a = t_a .\tau _l\) et \(G^2 = t_{2a}\).
Montrer que \(G = \tau _l t_a\) est une réflexion si \(l\) et \(a\) sont perpendiculaires et est une réflexion glissée si \(l\) et \(a\) ne sont pas perpendiculaires.
En regardant l’ensemble des points fixes \(fix(f) := \{ x \in \Rr^2 \vert f(x) =x\}\) d’une isométrie \(f \in Iso(\Rr^2)\) montrer que :
si \(fix (f) \not= \emptyset\) alors \(f=R(a,\alpha )\) ou \(f = \tau_l\)
si \(fix (f) = \emptyset\) alors \(f=t_a\) ou \(f=G(l,a)\) (indication : utiliser la question 2. et l’exercice [exo:avant], question 2).