Rappelons d’abord que pour \(x\) un élément d’ordre \(n\), alors \[x^q=e \Longrightarrow n | q.\]

Si \(n\) est pair alors \(ord(x^2)=n/2\) : en effet \((x^2)^\frac{n}{2} = x^n=e\) et pour \(p \geq 1\) tel que \((x^2)^p = e\) alors \(x^{2p}= e\) et \(n|2p\) donc \(p \geq \frac n2\). Donc \(n/2\) est le plus petit des entiers \(q\) (non nul) tel que \(x^q=e\) et par conséquent \(n/2\) est l’ordre de \(x\).
Si \(n\) est impair alors \(ord(x)=n\). Tout d’abord \((x^2)^n=(x^n)^2=e\) et pour \(p\) tel que \((x^2)^p=e\) alors \(n|2p\) mais \(2\) et \(n\) sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss, \(n|p\) et en particulier \(p \geq n\).

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