Soit \(f\) la fonction définie sur \([-1,1]\) par \(f(x) = \Arcsin x +\Arccos x\): \(f\) est continue sur l’intervalle \([-1,1]\), et dérivable sur \(]-1,1[\). Pour tout \(x\in]-1,1[\), \(f'(x)= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} = 0\). Ainsi \(f\) est constante sur \(]-1,1[\), donc sur \([-1,1]\) (car continue aux extrémités). Or \(f(0) = \Arcsin 0 +\Arccos 0 = \frac \pi 2\) donc pour tout \(x\in[-1,1]\), \(f(x) = \frac \pi 2\). Soit \(g(x) = \Arctan x + \Arctan \frac 1x\). Cette fonction est définie sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,+\infty[\) (mais pas en \(0\)). On a \[g'(x)= \frac{1}{1+x^2} + \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} = 0,\] donc \(g\) est constante sur chacun de ses intervalles de définition: \(g(x) = c_1\) sur \(]-\infty,0[\) et \(g(x) = c_2\) sur \(]0,+\infty[\). Sachant \(\Arctan 1 = \frac\pi4\), on calcule \(g(1)\) et \(g(-1)\) on obtient \(c_1 = -\frac \pi 2\) et \(c_2 = +\frac \pi 2\).

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