Soit \(a\) et \(b\) des entiers premiers entre eux. Raisonnons par l’absurde et supposons que \(ab\) et \(a+b\) ne sont pas premiers entre eux. Il existe alors \(p\) un nombre premier divisant \(ab\) et \(a+b\). Par le lemme d’Euclide comme \(p|ab\) alors \(p|a\) ou \(p|b\). Par exemple supposons que \(p|a\). Comme \(p|a+b\) alors \(p\) divise aussi \((a+b)-a\), donc \(p|b\). \(\delta\) ne divise pas \(b\) cela implique que \(\delta\) et \(b\) sont premiers entre eux.

D’après le lemme de Gauss, comme \(\delta\) divise \(ab\) et \(\delta\) premier avec \(b\) alors \(\delta\) divise \(a\). Donc \(p\) est un facteur premier de \(a\) et de \(b\) ce qui est absurde.

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