Soit \(n\in\Nn\). La division euclidienne de \(n\) par \(25\) fournit un quotient entier \(q\) et et un reste \(r\) élément de \(\{0,1,...,24\}\) tels que \(n=25q+r\).

On a alors

\[E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{25q+r+2-q}{3})=E(8q+\frac{r+2}{3})=8q+E(\frac{r+2}{3}),\]

et

\[E(\frac{8n+24}{25})=E(\frac{8(25q+r)+24}{25})=8q+E(\frac{8r+24}{25}).\]

Pour montrer l’égalité de l’énoncé, il reste donc à vérifier les \(25\) égalités \(E(\frac{r+2}{3})=E(\frac{8r+24}{25})\), \(0\leq r\leq 24\), \((*)\), ce qui peut déjà se vérifier à la main .

Diminuons encore le nombre de vérifications. La division euclidienne de \(r\) par \(3\) s’écrit \(r=3k+l\) avec \(0\leq l\leq2\). Mais alors,

\[E(\frac{r+2}{3})=k+E(\frac{l+2}{3})\;\mbox{et}\;E(\frac{8r+24}{25})=E(\frac{25k-k+8l+24}{25})=k+E(\frac{-k+8l+ 24}{25}).\]

Si \(l=0\), \(k\) varie de \(0\) à \(8\) et dans ce cas, \(0\leq\frac{-k+24}{25}=\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{24}{25}<1\). Par suite,

\[E(\frac{-k+8l+24}{25})=0=E(\frac{2}{3})=E(\frac{l+2}{3}).\]

On a ainsi vérifié \((*)\) quand \(r\in\{0,3,6,9,12,15,18,21,24\}\).

Si \(l=1\) ou \(l=2\), \(E(\frac{l+2}{3})=1\) et d’autre part, \(k\) varie de \(0\) à \(7\). Dans ce cas,

\[1=\frac{-7+8+24}{25}\leq\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{16+24}{25}<2\]

et donc

\[E(\frac{-k+8l+24}{25})=1=E(\frac{l+2}{3}).\]

On a ainsi vérifié \((*)\) pour les autres valeurs de \(r\). Finalement, on a montré que

\(\forall n\in\Nn,\;E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{8n+24}{25}).\)

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