Si l’un des réels \(a\), \(b\) ou \(c\) est strictement plus grand que \(1\), alors l’un au moins des trois réels \(a(1-b)\), \(b(1-c)\), \(c(1-a)\) est négatif (puisque \(a\), \(b\) et \(c\) sont positifs) et donc inférieur ou égal à \(\frac{1}{4}\).

Sinon, les trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) sont dans \([0,1]\). Le produit des trois réels \(a(1-b)\), \(b(1-c)\) et \(c(1-a)\) vaut

\[a(1-a)b(1-b)c(1-c).\]

Mais, pour \(x\in[0,1]\), \(x(1-x)\) est positif et d’autre part, \(x(1-x)=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}\leq\frac{1}{4}\). Par suite,

\[a(1-a)b(1-b)c(1-c)\leq\frac{1}{4^3}.\]

Il est alors impossible que les trois réels \(a(1-b)\), \(b(1-c)\) et \(c(1-a)\) soient strictement plus grand que \(\frac{1}{4}\), leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que \(\frac{1}{4^3}\).

On a montré dans tous les cas que l’un au moins des trois réels \(a(1-b)\), \(b(1-c)\) et \(c(1-a)\) est inférieur ou égal à \(\frac{1}{4}\).

exo7 5151