Soient \(x\in\Rr\) et \(n\in\Nn^*\). Pour \(1\leq k\leq n\), on a

\[kx-1<E(kx)\leq kx.\]

En sommant ces inégalités, on obtient

\[\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}\leq\frac{x+2x+...+nx}{n^2}=\frac{n(n+1)x}{2n^2}=\frac{(n+1)x}{2n},\]

et aussi,

\[\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}>\frac{(x-1)+(2x-1)+...+(nx-1)}{n^2}=\frac{n(n+1)x/2-n}{n^2} =\frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}.\]

Finalement, pour tout naturel non nul,

\[\frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}<\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}\leq\frac{(n+1)x}{2n}.\]

Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers \(\frac{x}{2}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). D’après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que

\(\forall x\in\Rr,\;\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}=\frac{x}{2}.\)

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