Pour \(P,Q \in \R_n[X]\) on pose \((P\mid Q) = \int_{t=-1}^1 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t\) et \(\Phi(P) = (X^2-1)P'' + (2X+1)P'\).
1
Vérifier que \((P\mid Q)\) existe et qu’on définit ainsi un produit scalaire sur \(\R_n[X]\).
2
Montrer que pour ce produit scalaire, \(\Phi\) est auto-adjoint \(\Bigl(\)calculer \(\int_{t=-1}^1 (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,d t\) par parties\(\Bigr)\).
3
Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\) et montrer qu’il existe une base propre de degrés étagés.