On montre le résultat par récurrence sur \(n\in\Nn^*\) le format de \(A\).

C’est clair pour \(n = 1\).

Soit \(n\geqslant1\). Supposons que toute matrice de format \(n\) et de trace nulle soit semblable à une matrice de diagonale nulle.

Soient \(A\) une matrice carrée de format \(n+1\) et de trace nulle puis \(f\) l’endomorphisme de \(\Kk^{n+1}\) de matrice \(A\) dans la base canonique \((e_1,...,e_{n+1})\) de \(\Kk^{n+1}\).

Si \(f\) est une homothétie de rapport noté \(k\), alors \(0=\text{Tr}(f)=k(n+1)\) et donc \(k = 0\) puis \(f = 0\) puis \(A = 0\). Dans ce cas, \(A\) est effectivement semblable à une matrice de diagonale nulle.

Sinon \(f\) n’est pas une homothétie et on sait qu’il existe un vecteur \(u\) de \(E\) tel que la famille \((u,f(u))\) soit libre (voir exercice [ex:rou25]). On complète la famille libre \((u,f(u))\) en une base de \(E\). Le coefficient ligne 1, colonne 1, de la matrice de \(f\) dans cette base est nul. Plus précisément, \(A\) est semblable à une matrice de la forme \(\left( \begin{array}{cccccc} 0&\times&\ldots& &\ldots&\times\\ 1& & & & \\ 0& & & & \\ \vdots& & &A'& & \\ \vdots& \\ 0& \end{array} \right)\).

Puis \(\text{Tr}A'=\text{Tr}A= 0\) et par hypothèse de récurrence, \(A'\) est semblable à une matrice \(A_1\) de diagonale nulle ou encore il existe \(A_1\) matrice carrée de format \(n\) et de diagonale nulle et \(Q\in GL_n(\Kk)\) telle que \(Q^{-1}A'Q = A_1\).

Mais alors, si on pose \(P=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&\ldots&0\\ 0& & & \\ \vdots& &Q& \\ 0& & & \end{array} \right)\), \(P\) est inversible car \(\text{det}(P)=1\times\text{det}(Q)\neq0\) et un calcul par blocs montre que \(P^{-1}=\left( \begin{array}{cccc} 1&0&\ldots&0\\ 0& & & \\ \vdots& &Q^{-1}& \\ 0& & & \end{array} \right)\) puis que \(P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cccccc} 0&\times&\ldots& &\ldots&\times\\ \times& & & & \\ \vdots& & & & \\ & & &A_1& & \\ \vdots& \\ \times& \end{array} \right)\) est de diagonale nulle.

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