1
Montrer que la boule unité fermée d’un evn de dimension finie est compacte.
2
Soit \(E\) un espace vectoriel normé et \(F\) un sous-espace de \(E\) de dimension finie. Montrer que \(d(x,F)=\inf\{d(x,y),\ y\in F,\ ||y||\leq2||x||\}\); en déduire que \(F\) est fermé dans \(E\).
3
Soit \((f_n)\) une suite de polynômes qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers une fonction qui n’est pas un polynôme. Montrer que la suite des degrés tend vers l’infini (raisonner par l’absurde).