Dans une zone militaire, l’efficacité de détection d’un radar est modélisée par la fonction : \[E(x,y) = \frac{5x - 2y}{1 + (x-1)^2 + (y+1)^2},\] où \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) représente les coordonnées géographiques du radar. La zone d’installation possible est le disque : \[D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^2 + (y+1)^2 \leq 4\right\}.\]
Montrer que \(E\) est continue sur \(D\). En déduire que \(E\) admet un maximum et un minimum global sur \(D\).
Trouver les points critiques de \(E\) à l’intérieur de \(D\).
Étudier la fonction \(E\) sur la frontière de \(D\) en utilisant la paramétrisation polaire \(x = 1 + 2\cos\theta\), \(y = -1 + 2\sin\theta\).
Comparer les valeurs obtenues pour déterminer le point d’installation optimal du radar ainsi que le point où \(E\) est minimale.