Soit \((x,y)\in\Rr^2\). La matrice jacobienne de \(f\) en \((x,y)\) s’écrit \(\left( \begin{array}{cc} c(x,y)&-s(x,y)\\ s(x,y)&c(x,y) \end{array} \right)\) où \(c\) et \(s\) sont deux fonctions de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) telle que \(c^2+s^2=1\) \((*)\). Il s’agit dans un premier temps de vérifier que les fonctions \(c\) et \(s\) sont constantes sur \(\Rr^2\).

Puisque \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(\Rr^2\), d’après le théorème de Schwarz, \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}= \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\). Ceci s’écrit encore \(\frac{\partial}{\partial y}\left( \begin{array}{c} c\\ s \end{array} \right)= \frac{\partial}{\partial x}\left( \begin{array}{c} -s\\ c \end{array} \right)\) ou enfin

\(\forall(x,y)\in\Rr^2\), \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y}(x,y) \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} - \frac{\partial s}{\partial x}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial c}{\partial x}(x,y) \end{array} \right)\) \((**)\).

En dérivant \((*)\) par rapport à \(x\) ou à \(y\), on obtient les égalités \(c \frac{\partial c}{\partial x}+s \frac{\partial s}{\partial x}=0\) et \(c \frac{\partial c}{\partial y}+s \frac{\partial s}{\partial y}=0\). Ceci montre que les deux vecteurs \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x} \end{array} \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y} \end{array} \right)\) sont orthogonaux au vecteur non nul \(\left( \begin{array}{c} c\\ s \end{array} \right)\) et sont donc colinéaires. Mais l’égalité \((**)\) montre que les deux vecteurs \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x} \end{array} \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y} \end{array} \right)\) sont aussi orthogonaux l’un à l’autre. Finalement, pour tout \((x,y)\in\Rr^2\), les deux vecteurs \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial x}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial x}(x,y) \end{array} \right)\) et \(\left( \begin{array}{c} \frac{\partial c}{\partial y}(x,y)\\ \rule{0mm}{6mm} \frac{\partial s}{\partial y}(x,y) \end{array} \right)\) sont nuls. On en déduit que les deux applications \(c\) et \(s\) sont constantes sur \(\Rr^2\) et donc, il existe \(\theta\) dans \(\Rr\) tel que pour tout \((x,y)\in\Rr^2\), la matrice jacobienne de \(f\) en \((x,y)\) est \(\left( \begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{array} \right)\).

Soit \(g\) la rotation d’angle \(\theta\) prenant la même valeur que \(f\) en \((0,0)\). \(f\) et \(g\) ont mêmes différentielles en tout point et coïncident en un point. Donc \(f=g\) et \(f\) est une rotation affine.

Soit \(f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2\) de classe \(C^2\) dont la différentielle en tout point est une rotation.

Alors \(f\) est une rotation affine.

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