Soit \(SL(n,\R)=\{ M\in M_n(\R )\mid det\, M=\pm 1 \}\) et soit l’action du groupe \(SL(n,\R)\) sur \(\R^n\) donnée par \[SL(n,\R)\times \R^n \to \R^n\, ,\] \[(M,\, X)\to MX\; .\]
Trouver les orbites de cette action. Montrer que le centre de \(SL(n,\R)\) est \(\{ \pm I \}\).
Montrer que, pour tout vecteur \(X\in \R^n\), son stabilisateur est conjugué au sous-groupe \[P= \left( \begin{array}{cc} 1 & *\\ 0 & SL(n-1,\R) \end{array} \right)\; .\]
Soit \(SL(2,\Z )\) muni de son action sur \(\Z^2\) définie par \[SL(2,\Z)\times \Z^2 \to \Z^2\, ,\] \[(M,\, X)\to MX\; .\]
Trouver ses orbites. Montrer que l’ensemble \(\Gamma(2)\) des matrices \(M\) tels que \(M=I\) (mod 2) est un sous-groupe de \(SL(2,\Z )\). Trouver ses orbites dans \(\Z^2\).