Existence de \(F(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\). Soit \(x>0\). La fonction \(t\mapsto \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\) est continue sur \([0,+\infty[\) et est dominée par \(\frac{1}{t^2}\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\). Donc la fonction \(t\mapsto \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\) est intégrable sur \([0,+\infty[\). On en déduit que

\(F\) est définie sur \(]0,+\infty[\).

Dérivées de \(F\). Soient \(a>0\) puis \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&[a,+\infty[\times[0,+\infty[&\rightarrow&\Rr\\ &(x,t)&\mapsto& \frac{e^{-tx}}{1+t^2} \end{array}\).

Pour tout réel \(x\in[a,+\infty[\), la fonction \(t\mapsto\Phi(x,t)\) est continue et intégrable sur \([0,+\infty[\).

La fonction \(\Phi\) admet sur \([a,+\infty[\times[0,+\infty[\) des dérivées partielles d’ordre \(1\) et \(2\) par rapport à sa première variable \(x\) et pour tout \((x,t)\in[a,+\infty[\times[0,+\infty[\)

\(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)=- \frac{te^{-tx}}{1+t^2}\) et \(\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)= \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}\).

De plus

- pour tout \(x\in[a,+\infty[\), les fonctions \(t\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) et \(t\mapsto \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)\) sont continues par morceaux sur \([0,+\infty[\).

- pour tout \(t\in[0,+\infty[\), les fonctions \(x\mapsto \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\) et \(x\mapsto \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)\) sont continues sur \([0,+\infty[\).

- pour tout \((x,t)\in[a,+\infty[\times[0,+\infty[\), \(\left| \frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,t)\right|\leqslant \frac{te^{-ta}}{1+t^2}=\varphi_1(t)\) et \(\left| \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2}(x,t)\right|\leqslant \frac{t^2e^{-ta}}{1+t^2}=\varphi_2(t)\) où les fonctions

\(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) sont continues par morceaux et intégrables sur \([0,+\infty[\) car sont dominées en \(+\infty\) par \(\frac{1}{t^2}\).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème de Leibniz), \(F\) est deux fois dérivable sur \([a,+\infty[\) et les dérivées de \(F\) s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réel \(a>0\), \(F\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\), \(F''(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\partial^2F}{\partial x^2} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\).

\(\forall x>0\), \(F''(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^2e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\).

Equation différentielle vérifiée par \(F\). Pour \(x>0\), \(F''(x)+F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\;dt=\left[- \frac{1}{x}e^{-tx}\right]_0^{+\infty}= \frac{1}{x}\).

\(\forall x>0\), \(F''(x)+F(x)= \frac{1}{x}\).

Existence de \(G(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt\). Soit \(a>0\). Montrons l’existence de \(\int_{a}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du\) et \(\int_{a}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du\).

Soit \(A>a\). Une intégration par parties fournit \(\int_{a}^{A} \frac{\sin u}{u}\;du=- \frac{\cos a}{a}+ \frac{\cos A}{A}-\int_{a}^{A} \frac{\cos u}{u^2}\;du\). Puisque \(\left| \frac{\cos A}{A}\right|\leqslant \frac{1}{A}\), on a \(\lim_{A \rightarrow +\infty} \frac{\cos A}{A}=0\). D’autre part, puisque \(\forall u\geqslant a\), \(\left| \frac{\cos u}{u^2}\right|\leqslant \frac{1}{u^2}\), la fonction \(u\mapsto \frac{\cos u}{u^2}\) est intégrable sur \([a,+\infty[\) et en particulier, \(\int_{a}^{A} \frac{\cos u}{u^2}\;du\) a une limite quand \(A\) tend vers \(+\infty\). On en déduit que \(\int_{a}^{A} \frac{\sin u}{u}\;du\) a une limite quand \(A\) tend vers \(+\infty\) ou encore que l’intégrale \(\int_{a}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du\) converge en \(+\infty\). De même, \(\int_{a}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du\) converge en \(+\infty\).

Mais alors, pour \(x>0\),

\(\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du=\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin(u-x)}{u}\;du=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt=G(x)\) existe.

\(G\) est définie sur \(]0,+\infty[\).

Equation différentielle vérifiée par \(G\). Puisque la fonction \(u\mapsto \frac{\sin u}{u}\) est continue sur \(]0,+\infty[\), la fonction \(x\mapsto\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\int_{1}^{x} \frac{\sin u}{u}\;du\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\). De même, la fonction \(x\mapsto\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) puis \(G\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\). De plus, pour tout réel \(x>0\),

\(G'(x)=-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du- \frac{\cos x\sin x}{x}-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du+ \frac{\cos x\sin x}{x}=-\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du\),

puis en redérivant

\(G''(x)=-\cos x\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du+ \frac{\sin^2x}{x}+\sin x\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du+ \frac{\cos^2x}{x}=-G(x)+ \frac{1}{x}\).

\(\forall x>0\), \(G''(x)+G(x)= \frac{1}{x}\).

Limites de \(F\) et \(G\) en \(+\infty\). Puisque \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du\) et \(\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du\) sont deux intégrales convergentes, \(\lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{x}^{+\infty} \frac{\sin u}{u}\;du=\lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{x}^{+\infty} \frac{\cos u}{u}\;du=0\). Puisque les fonctions sinus et cosinus sont bornées sur \(\Rr\). On en déduit que \(\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)=0\).

Pour tout réel \(x>0\), \(|F(x)|=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt\leqslant\int_{0}^{+\infty}e^{-tx}\;dt= \frac{1}{x}\) et donc \(\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=0\).

\(\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)=0\).

Egalité de \(F\) et \(G\). D’après ce qui précède, \((F-G)''+(F-G)=0\) et donc il existe \((\lambda,\mu)\in\Rr^2\) tel que pour tout \(x>0\), \(F(x)-G(x)=\lambda\cos x+\mu\sin x\). Si \((\lambda,\mu)\neq(0,0)\), alors \(\lambda\cos x+\mu\sin x=\sqrt{\lambda^2+\mu^2}\cos(x-x_0)\) ne tend pas vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Puisque \(\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)-G(x)=0\), on a nécessairement \(\lambda=\mu=0\) et donc \(F-G=0\). On a montré que

\(\forall x>0\), \(\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt\).

Remarque. On peut montrer que l’égalité persiste quand \(x=0\) (par continuité) et on obtient \(\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\;dt= \frac{\pi}{2}\).

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